 |
| GAMBARAN UMUM GEOMETRI FRAKTAL |
Setelah membuat definisi tentang 4 unsur primitif dan 5 postulat, Euclidus menurunkan berbagai dalil tentang geometri bidang datar. Tetapi ternyata geometri ini hanya bisa digunakan untuk menerangkan secara konsepsional objekobjek linear atau objek-objek buatan manusia, bukan objek-objek alam. Sebenarnya sejak lama para ahli matematika telah berupaya untuk merumuskan objek-objeknon linear seperti yang dilakukan oleh Bolyai, Lobachevski, maupun Riemann. Pada dasarnya mereka ingin mengubah postulat ke 5 (postulat kesejajaran) dari Euclidus agar dapat keluar dari paradigma linearitas. Bolyai menunjukkan bahwa dari 29 dalil ternyata 28 dalil pertama dari Euclidus dapat dibuktikan tanpa menggunakan postulat yang ke 5. Dengan menggunakan 4 yang pertama dari 5 postulat Euclidus, Bolyai mampu membuktikan bahwa melalui suatu titik B di luar garis lurus bdapat dilukis paling sedikit 1 garis lurus yang sejajar dengan garis b. Kemudian lebih jauh Lobachevski juga menggantikan postulat ke 5 dari Euclidus dengan postulat: melalui 1 titik di luar suatu garis lurus paling sedikit dapat dilukis 2 buah garis lurus yang sejajar. Dengan postulat pengganti ini, Lobachevski ingin membuktikan bahwa postulat ke 5 dari Euclidus itu hanya merupakan akibat dari 4 postulat lainnya. Walaupun Lobachevski tidak berhasil membuktikan itu, tetapi dengan postulat pengganti yang tampaknya tidak masuk akal itu (beserta4 postulat pertama dari Euclidus) Lobachevski malah berhasil membangun suatu geometri lain yang juga konsisten. Geometri Lobachevski tidak menggunakan bidang datar melainkan bentuk terompet.
Selain itu Riemann membuat postulat: tidak ada 2 buah garis lurus yang sejajar. Postulat ini sejalan dengan fenomena dalam membatasi bidang permukaan yang berbentuk bola. Geometri Riemann yang semula dipandang aneh ini ternyata kemudian melandasi lahirnya Teori Relativitas Einstein.
Sekalipun upaya telah banyak dilakukan, kenyataannya Geometri Euclidus tetap mengobsesi para ahli untuk melinearkan objek-objek alam ataupun sistem dinamis sampai akhir abad 20. Sebagai implikasi dari Geometri Euclidus, setiap objek alam merupakan tumpukan dadudadu dalam sistem salib sumbu 3 dimensi yang saling tegak lurus. Sebagai implikasi dari itu maka kalkulus terobsesi untuk melinearkan setiap objek (baik itu buatan manusia ataupun objek alam) melalui pembuatan fungsi-fungsi kurva dan menggunakan operasi yang sangat terkenal dengan istilah diferensialintegral. Memang dengan kemajuan seperti yang dicapai dalam Persamaan Diferensial maupun Teori Fuzzy dalam memformulasikan sistem dinamis, kalkulus juga mencapai kemajuan yang sangat mengesankan yang pada puncaknya dapat mendeskrispsikan Teori Kekacauan (Chaos Theory). Tetapi, kedua teori ini tidak mempunyai basis yang konsepsional melainkan dengan menggunakan aproksimasi numerik.
Suatu ironis bahwa Geometri Euclidus merupakan geometri yang paling banyak digunakan tetapi paling jarang dijumpai di alam. Penemuan Himpunan Debu Cantor, Kurva Koch, Media Berpori seperti Spon, Karpet dan GasketSierpinski (Gambar 2 - 6) merupakan teka-teki (puzzles)bagi kalkulus yang merupakan anak kandung (offspring) dari Geometri Euclidus. Semua objek tersebut adalah objek-objek kontinyu tetapi tidak diferensialble. Artinya objek-objek selalu dikeluarkan dari pembahasan kalkulus. Himpunan Debu Cantor (Cantor Set) tidak bisa dikatakan sebagai objek berdimensi 1 (garis lurus) ataupun 0 (titik). Kurva Koch, Gasket dan Karpet Sierpinski tidak bisa dikatakan sebagai objek berdimensi 1 ataupun 2 (bidang datar). Sedangkan media berpori spon (Menger Sponge) bukanlah objek berdimensi 2 ataupun 3.
Para matematikawan waktu itu (sebelum Mandelbrot, 1982) menyebut objek-objek tersebut sebagai monster yang mengerikan berhubung dengan sifatnya yang kontinyu tetapi tidak terdiferensial. Bahkan monster-monster itu semakin banyak bila dihadapkan pada keharusan untuk memformulasikan geometri dari objek-objek alam. Dengan demikian diperlukan geometri lain yang dapat memperluas Geometri Euclidus agar bisa menjelaskan secara konsepsional perilaku objek-objek monster yang berada dimana-mana seperti bentuk-bentuk penjalaran halilintar, jaringan saraf, jaringan pembulu darah, jaringan sungai, pola percabangan pohon, percabangan perakaran, turbulensi fluida, media berpori seperti jaringan spon, jaringan makluk hidup, keramik, batuan maupun tanah dan untuk semua objek alam lainnya. Geometri itu dikenal sebagai Geometri Fraktal ataupun yang disebut oleh Peigent, Jurgen dan Saupe sebagai Geometri Kekacauan atau Geometry of Chaos. Geometri ini secara konsepsional mampu memformulasikan objek-objek monster, objek-objek alam maupun sistem dinamis non linear. Sebagai contoh kekacauan geometri daun paku dapat dipecahkan dengan Gasket Sirpinskie. Begitu pula model pertumbuhan populasi.
2. Pengertian dengan Geometri Fraktal
Bahasa Inggris dari fraktal adalah fractal. Istilah fractal dibuat oleh Benoît Mandelbrot pada tahun 1975 dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama umum untuk struktur semacamnya adalah kurva monster.
Menurut Mandelbrot, setiap objek alam berperilaku sebagai fraktal dalam hal ini merupakan hasil kerja gaya yang sama yang bekerja pada berbagai tingkatan skala pada suatu objek sehingga mengakibatkan iterasi atau pengulangan bentuk dasar (fractal seed atau fractal generator) yang hasilnya menyatu dalam satu objek yang bersangkutan. Proses itu dikenal sebagai proses self similiarity yang bersifat scale invariant: artinya diamati dengan skala berapapun bentuk geometrinya maupun dimensinya tetap sama dengan benih fraktalnya.
3. Kegunaan Geometri Fraktal dalam Kehidupan
Geometri Fraktal ini telah dipergunakan hampir di semua bidang bahkan untuk ilmu social, ekonomi maupun bidang seni Dalam ilmu tanah penggunaan Geometri Fraktal masih terbatas pada bidang fisika tanah. Dalam hal ini pertama kali dipelopori oleh Tyler dan Wheatcraft untuk menentukan parameter percabangan pori-pori tanah dalam usaha untuk meniadakan pekerjaan fitting parameter dan untuk mereduksi pekerjaan empiris di laboratorium ataupun di lapangan sehingga pemodelan retensi ataupun pergerakan air tanah beserta bahan-bahan polutan yang terlarut di dalamnya dapat dikerjakan secara konsepsional, dalam arti secara matematika absah dan mempunyai landasan hukum-hukum fisika yang telah diterima secara universal serta cepat, murah dan tidak banyak memakan waktu.
4. Pengelompokan Fraktal
Fraktal dibedakan menjadi dua, yaitu:
1. Fraktal deterministik. Fraktal deterministik dihasilkan oleh aturan-aturan deterministik yang terus diulang dan memiliki kecenderungan bentuk yang simetris. Contoh: sebuah segitiga terdiri dari iterasi berbagai segitiga lainnya yang lebih kecil. Tetapi benda-benda alam tidak pernah betul-betul simetris sehingga fraktal deterministik kurang realistis.
2. Fraktal random. Fraktal random dihasilkan oleh kombinasi aturan-aturan yang dipilih secara random pada skala yang berbeda. Contoh: sebuah garis pantai. Dari pesawat terbang, garis pantai terlihat seperti garis tak teratur yang mulus. Makin rendah pesawat terbang, makin bergerigi garis pantai itu, sampai pada jarak dekat setiap batas terlihat. Semakin dekat, semakin jelas terlihat detail garis pantai tersebut. Harga saham mirip dengan garis pantai tersebut. Makin dekat kita melihat (makin kecil unit waktunya), makin banyak detail yang terlihat.
Fraktal bisa juga dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.
1. Iterated Function System - memiliki aturan geometris tetap. Misalnya himpunan debu Cantor , karpet Sierpinski, gasket Sierpinski, kurva Peano, bungasalju Koch, kurva naga Harter-Highway, T-Square , sponsMenger
2. Escape-time fractals - ditentukan dengan formula atau relasirekursi di setiap titik. Contoh himpunan Mandelbrot, himpunan Julia , fraktal Burning Ship, fraktal Nova dan fraktal Lyapunov
3. Random fractals - dibentuk oleh proses stokastik bukan dari proses deterministik.Contoh lintasan gerak Brown , penerbangan Levy , fraktal lanskapfraktal dan pohon Brownian .
Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga tingkat keperupadirian pada fraktal:
• Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat. Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
• Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.
• Serupa diri secara statistik — Ini adalah kererupadirian yang paling lemah. Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.
Dengan adanya informasi yang kami sajikan tentang gambar pola pecahan dan ukuran kemeja anak no5
, harapan kami semoga anda dapat terbantu dan menjadi sebuah rujukan anda. Atau juga anda bisa melihat referensi lain kami juga yang lain dimana tidak kalah bagusnya tentang Tutorial Cara Membuat T-Shirt Dengan Corel Draw
. Sekian dan kami ucapkan terima kasih atas kunjungannya.
buka mesin jahit : https://www.academia.edu/10212802/GEOMETRI_FRAKTAL
0 komentar:
Post a Comment